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函数极限

常用的无穷大比较

无穷大量与无界变量的关系
$无穷大量无界变量$ $无穷大量无界变量$

等价无穷小
a
$当时$
推广

b

c
时时
d

常用极限
$不存在$
型
$若$
$且$
则

泰勒公式

重要放缩不等式

求n项和的数列极限
当变化部分与n次量级–用夹逼
当变化部分与n同量级–用定积分定义

平方项和公式

分母在变，分子也在变的–夹逼，然后定积分定义
$求极限$

递推关系数列极限
证明数列收敛【数列收敛指的是第n项趋于一个极限】
题型1.单调有界准则

题型2.压缩映射(先斩后奏)
①先假设数列的极限为A，想象趋向∞，求出A。
②验证A，列出式子就能递推出,夹逼得出A即为极限

变积分上限无穷小量阶的比较
时，是的 m 阶无穷小，是的 n 阶无穷小
则当时，是的阶无穷小

continues

间断点的分类
1.第一类间断点：左，右极限均存在的间断点
2.第二类间断点：左，右极限中至少有一个不存在

Derivative

可导的概念：某一点x0处，左右导数都存在且相等

基本求导公式

高阶导数求导公式

1.求函数固定点的n阶导数，要么用求导公式，要么泰勒展开
2.求函数不定点的n阶导数【导数函数】，找规律或高阶求导公式

二级结论
$设其$ $在处连续$ $在处可导的充要条件是$

Derivative applications

曲率公式

反函数的导数

方程根的存在性及个数

$有个零点$ $至少有个零点$ $至少有个零点$ 函数f(x)如果有n阶导数，n个零点，那么它至少n-1个驻点，至多n-1个驻点

Mean value theorem

构造辅助函数
$欲证令$
$欲证令$
$欲证令$
核心,记一个 $令$
$令$

罗尔定理
拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值—拉格朗日余项
$！！$
$介于与之间$
1.单中值问题，一般只需要罗尔定理或柯西定理
2.双中值问题，要求两个中值不同，一般分为两个区间，然后两个区间分别用拉格朗日定理；没要求两个中值不同，分离两个变量到两边，用拉个朗日或柯西
3.单中值，高阶导数问题，一般泰勒展开，在提供信息最多的点展开

中值证明题两种思路
1. 构造辅助函数
2. 涉及高阶导数，尝试泰勒展开。或者区间分两块，用两次拉格朗日，得到二阶导数

Definite integral

本质是由区间再现公式推导得出

点火公式
$为正偶数时$ $为正奇数时$

重要积分不等式

线
质心

形心

面
质心

形心

indefinite integral

原函数存在
原函数必须是处处可导的函数 => 有第一类间断点的函数一定没有原函数

不定积分基本公式

积不出积分

三角有理式积分

（1） $一般方法万能代换令$

（2） $特殊方法三角变形换元分部$
$若则令$ $若则令$ $若则令$

Improper integral

无穷区间审敛–比较法极限形式
$则$ $当时$ $与同敛散$
$当时$ $收敛收敛$
$当时$ $发散发散$
一般与P积分比较

无穷区间的反常积分
$收敛发散$
无界函数的反常积分
$収敛发散$

Applications of definite integrals

极坐标平面图形面积
$若平面域由曲线所围成，则$

绕x轴转旋转体体积

绕y轴转旋转体体积

曲线弧长

旋转体侧面积

differential equations

线性方程公式通解

可降阶微分方程代换方式
1.包含有x的，令y’=p，p作为x的函数
2.只含有y的，令y’=p，p作为y的函数

高阶常系数线性微分方程通解公式

$不等实根$
$相等实根$
$共轭复根$

高阶非齐次线性微分方程特解公式

常用积分

奇怪的微分方程利用xy对调

解微分方程求y表达式
解得时，立马写出其共轭式
相加消去,即可求出y(x)表达式

Differential calculus of multivariate functions

定义法判定可微性
$与是否都存在$
$是否为零$

题目给类微分定义式时，求全微分dz
方法1. 凑微分定义式
方法2. 直接找分子式中 , x 和 y前的系数 乘-1 就直接是两个偏导数

题型1-多元分段函数函数判断是否连续、偏导数存在、可微
判断是否连续：a.化极坐标，求该点极限 b.对函数加绝对值->放缩(不等式)->夹逼，判断极限是否存在
判断偏导数是否存在：利用偏导数定义式
判断是否可微：凑可微判定式，前提需要求出两个偏导数
题型2-给了含多元函数的极限等式，判断多元函数是否连续、偏导数存在、可微
判断是否连续：能拆则拆，将分式化简，例如(将极限=0的分式，消去)，然后求极限
判断偏导数是否存在：利用定义式
判断是否可微：凑可微判定式，没有偏导项->设偏导均为0，于是就是一个可微判断式

f(x,y)是n次齐次函数时
$则有$

微分形式不变性

无约束极值–判断是极大值还是极小值点

$记$ $则$
$当$ $时有极值极小值极大值$
$当时无极值$
$当时$ $不一定化二元为一元取$

条件极值–拉格朗日数乘法
$函数在条件条件下的极值$
$令$
快速解法: 由于太碍事，所以消去，简便运算
获得x与y的关系，代入第三个式子
任选两组，组成上例的形式，解方程

条件最值总结
求条件最最值的问题，一定是一个区域D外加边界。首先没有边界限制情况下求驻点P。若驻点P在区域D内部且只有一个，那么必定是该条件最值(最大或最小)；若驻点P 在区域D外部，则最值D内没有极值点，最大最小值在边界上（此时使用拉格朗日数乘法）。

条件极值证明不等式
利用其中一边作为约束条件，构建拉格朗日数乘法，求左边的极大值，并且计算其最大值不会超过右边, 如下举例

保号性判定抽象多元函数极值
例求f(x,y)在(0,0)点是否是极值点？极大还是极小？
答：左式整体取负，分母=>0+ , 所以分子=>0- ,所以邻域内f(x,y)<f(0,0)，所以(0,0)极大

double integral

二重积分之直角坐标转换成极坐标画图

画图对于单画画满坐标轴一圈
画图对于2画画满坐标轴一圈
极坐标没有负数，当求出r<0时，其实是，按照当前所在角度，其原点对称位置画r轨迹
时，求出r<0的舍去，该区域内没有定义

有时候不能简单的令x=ρcosθ,y=ρsinθ 不好计算

直角坐标换成极坐标本质就是换元
引入变换有乘以雅克比行列式绝对值
其中雅克比行列式

二重积分计算方法
交换积分次序
转换极坐标(极坐标不好积时,有时还需要极坐标换序积分)
利用奇偶性
变量对称性
平移积分区域+椭圆变圆
(椭圆方程令u=v=转化为,计算)
看到规则图形，首先尽量利用奇偶性和对称性(平移，凑奇偶性)，极大简便运算

变量对称性
1.变量对称性关于y=x对称
2. 扩展变量对称性, 关于y=-x对称

反解求图形的对称轴
有的函数式子，无法转化为极坐标画积分区域，需要有一种方法，判断该图形是否关于某个轴对称，反解求x=a的对称轴, 正解求y=b的对称轴

变上限累二重积分的极限问题
三个步骤
1.交换次序
2.洛必达
将内层的积分看做函数g(u)
3.积分中值定理

二重积分积分次序可换

skills

定积分比大小问题-相同区间
对称区间，可利用奇偶性，比较被积函数大小
可以画图像解决，一般是被积函数起点相同，比较变化速率
被积函数和具体的数比较例如1
利用不等式,；x+1 ; lnx ; ln(x+1) 之间的比较
有关三角函数定积分比大小的一些结论

6. 不好比较的尝试用用泰勒展开

反常积分审敛
找等价无穷小
比较各类函数趋近于0的快慢，一般与作比较
比较各类函数趋近于无穷的快慢，一般
对lnx的几种情况! $比都慢等价于比都慢$

递推数列证明题求极限，求如何证明单调有界
递推式出现相类似函数，例如、；; 考虑拉格朗日判断单调性
具体问题具体分析

中值定理辅助函数的构造-用罗尔定理
肉眼观察
求解微分方程
比如求的辅助函数，解微分方程得即
解出的c即为辅助函数F(x)。因为F’(x)=0
公式法(前面有总结): $令$
乘积求导形式，构造原函数，划线法,找出发点
交叉式，高阶(二阶)导相乘形式，构造原函数，积分法
一次积分构造得到的原函数与题目所给条件无关联，可以考虑做两次积分，再求一次原函数
能用拉格朗日解决的中值问题，一定能用构造辅助函数再用罗尔定理解决
能够用柯西解决的中值问题，一定能用构造辅助函数在用罗尔解决

多中值-互不相同-用拉格朗日或柯西
多中值几种类型
两个不同中值，假设一个c1划分区间，由（a,c1）和（c1,b）用中值定理获得
两个不同中值，假设一个c1划分区间，c1本身也是一个中值，位于其中一段区间
三个不同中值，假设c1,c2分别划分，三个中值分别在各自区间用中值定理获得
三个不同中值，用一个c1划分，同时c1本身也是中值

泰勒中值证明
什么时候用泰勒中值？——当题目条件出现，高阶导数，和f(a),f(b)这些具体点时候；且出现这些特征时
题型1
一般在两个端点展开a,b，或者中点展开
常常结合带有绝对值的不等式证明，想到用来放缩
题型2
题目中所给函数n阶导数连续，但是给你的泰勒展开式只展开到n-1阶，没展干净
此时就，自己展开到n阶，然后两式对比，相加减，获得里面的信息

多项式拟合-微分方程证明
适用情况证明(k为常数)
可构造(g(x)为多项式，具体次数看是几阶导数)
这样构造目的是为了g(x)求导保留常数
根据题目条件保证f(x1)=g(x2), f(x2)=g(x2)… 求出g(x)的多项式系数
得到F(x1)=F(x2)=…=0 ,即多次罗尔定理，可得到一中值，使得，等式成立
就是所求常数k

常数k值法-微分方程证明

适用条件

适用情况等式一端仅是与区间端点 a，b及其函数值、导数值有关的常数；另一端是只含导数函数和函数在区间内某点（中值点）的值，即与，a,b是分离的。
如果把式中b换作a时，原式呈0=0形式，则称它是对称式

使用步骤

例👇

图片alt

积分不等式证明通法——构造变限积分
若条件出现，可令
天然可得到两个信息F(a)=0,F(b)=A
接着凑微分、分部积分

例👇

图片alt

多项式零点、极值点、拐点个数
极值点——f’(x)=0
拐点——f’’(x)=0，f’’’(x)0
先将所有根(包括重根)列出来，再罗尔取中间必有1个下一阶导数为0的点(重根之间任然取回原来的数)

告别施密特正交化
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交
实对称矩阵相同特征值对应的特征向量不一定正交，所以需要正交化
一个特征值的多特征向量，其实可以写成通解，然后随意选取一个向量，再选取另外一个，与之正交即可

AB=O大总结

，n为未知数的个数，也就是矩阵A的列数
B的列向量，均为的解
A有特征值0，A有特征向量(B的非零列向量)
A列相关—A列不满秩(因为Ax=0有非零解)
B行相关—AB=0B^TA^T=O ,同理B^T列相关B 行相关

相似大总结A∽B

秩、迹、行列式相同
对于任意a, 有 A-aE∽B-aE
$A^T\sim B^T,A^{-1}\sim B^{-1}, A^{}\sim B^{}$

线代大题九大考法

逆用矩阵乘法，结合相似理论
点击👇
已知特征值、特征向量，反求矩阵A（尤其是实对称）普分解定理
点击👇
求逆矩阵P s.t
点击👇
info 提示塊標籤

同时相似对角化 s.t A. B 求P 使得证明A、B共用一套特征向量
点击👇
1. 伴随矩阵A的特征值,当时失效，更一般的方法如下
2. 要证明AB=BA,两个矩阵可交换，思路是证明f(A)g(B)=g(B)f(A),把括号打开，得到AB=BA
3. 对A的各种变化不会改变特征向量
利用相似对角化求
线性方程组与特征值特征向量结合
点击👇
求f(x1,x2,x3)=0 的解
将正定矩阵A ，分解为或
答案👇
非对称矩阵的二次型问题，